已知定义域为(0,正无穷)的函数f(x)满足:①x>1时,f(x)

Question

已知定义域为(0,正无穷)的函数f(x)满足:①x>1时,f(x)<0;②f(1/2)=1③对任意的正实数x,y,
都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1) 求证：f(1/x)=-f(x)
(2)求证：f(x)在定义域内为减函数
（3）求不等式f(2)+f(5-x)≥-2的解集、

Answer 1

因为f(xy)=f(x)+f(y)
f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)得f(1)=0
f(1)=f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x)=0得f(1/x)=-f(x)
假设y>x>0,因-f(x)=f(1/x)则f(y)-f(x)=f(y)+f(1/x)=f(y*(1/x))=f(y/x)
因为y>x>0,所以y/x>1,而已知"x>1时,f(x)<0",所以f(y/x)<0,所以f(y)-f(x)<0,得f(x)在定义域内为减函数
因为f(1/2)=1,所以-f(2)=f(1/2)=1得,f(2)=-1即有f(2)+f(2)=-2
f(2)+f(5-x)≥-2可化为f(2)+f(5-x)≥f(2)+f(2)即f(5-x)>=f(2)
又f(x)在定义域内为减函数,所以5-x<=2得x>=3