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已知递推公式An=aAn-1+bAn-2a,b为常数,求An(用A1,A2来表示An)已知递推公式An=aAn-1+bAn-2a,b为常数,求An(用A1,A2来表示An)
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已知递推公式An=aAn-1+bAn-2 a,b为常数,求An(用A1,A2来表示An)
已知递推公式An=aAn-1+bAn-2
a,b为常数,
求An(用A1,A2来表示An)
已知递推公式An=aAn-1+bAn-2
a,b为常数,
求An(用A1,A2来表示An)
▼优质解答
答案和解析
纯数学办法,a、b为任何值时都有解
An=aAn-1+bAn-2,A3=aA1+bA2
b=0时为简单等比数列,b不=0时有
An+xAn-1=(a+x)An-1+bAn-2
其中x=b/(a+x),即有x^2+ax-b=0,解得x1,x2,其中
x1+x2=-a,x1x2=-b(不论x1、x2是否是实数)
于是
An+x1An-1=(A2+x1A1)[(a+x1)^(n-2)]=(A2+x1A1)[(-x2)^(n-2)],
An+x2An-1=(A2+x2A1)[(a+x2)^(n-2)]=(A2+x2A1)[(-x1)^(n-2)];n>2
得到
An=-x2(A2+x1A1)[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)+(-x1)^(n-2)A2
An=-x1(A2+x2A1)[(-x2)^(n-2)-(-x1)^(n-2)]/(x1-x2)+(-x2)^(n-2)A2
两式相加,得
2An=(aA2+2bA1)[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)+[(-x1)^(n-2)+(-x2)^(n-2)]A2
当x1、x2不为实数时,(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)项为纯虚数,同时(x2-x1)为纯虚数,故
[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)为实数项;[(-x1)^(n-2)+(-x2)^(n-2)]为实数
因此
An=1/2{(aA2+2bA1)[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)+[(-x1)^(n-2)+(-x2)^(n-2)]A2}
=1/2^(n-1){(aA2+2bA1)[(a+√|a^2+4b|)^(n-2)-(a-√|a^2+4b|)^(n-2)]/√|a^2+4b|
+[(a+√|a^2+4b|)^(n-2)+(a-√|a^2+4b|)^(n-2)]A2};
n>2
An=aAn-1+bAn-2,A3=aA1+bA2
b=0时为简单等比数列,b不=0时有
An+xAn-1=(a+x)An-1+bAn-2
其中x=b/(a+x),即有x^2+ax-b=0,解得x1,x2,其中
x1+x2=-a,x1x2=-b(不论x1、x2是否是实数)
于是
An+x1An-1=(A2+x1A1)[(a+x1)^(n-2)]=(A2+x1A1)[(-x2)^(n-2)],
An+x2An-1=(A2+x2A1)[(a+x2)^(n-2)]=(A2+x2A1)[(-x1)^(n-2)];n>2
得到
An=-x2(A2+x1A1)[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)+(-x1)^(n-2)A2
An=-x1(A2+x2A1)[(-x2)^(n-2)-(-x1)^(n-2)]/(x1-x2)+(-x2)^(n-2)A2
两式相加,得
2An=(aA2+2bA1)[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)+[(-x1)^(n-2)+(-x2)^(n-2)]A2
当x1、x2不为实数时,(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)项为纯虚数,同时(x2-x1)为纯虚数,故
[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)为实数项;[(-x1)^(n-2)+(-x2)^(n-2)]为实数
因此
An=1/2{(aA2+2bA1)[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)+[(-x1)^(n-2)+(-x2)^(n-2)]A2}
=1/2^(n-1){(aA2+2bA1)[(a+√|a^2+4b|)^(n-2)-(a-√|a^2+4b|)^(n-2)]/√|a^2+4b|
+[(a+√|a^2+4b|)^(n-2)+(a-√|a^2+4b|)^(n-2)]A2};
n>2
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