（2006•北京模拟）设函数f（x）在[1，+∞）上连续，若由曲线y=f（x），直线x=1，x=t（t＞1）与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V（t）=π3[t2f（t）-f（1）]．试求y=f（x

Question

（2006•北京模拟）设函数f（x）在[1，+∞）上连续，若由曲线y=f（x），直线x=1，x=t（t＞1）与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V（t）=(π)/(3)[t²f（t）-f（1）]．试求y=f（x）所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y|x＝2＝(2)/(9)的解．

Answer 1

函数f（x）在[1，+∞）上连续，由曲线y=f（x），直线x=1，x=t（t＞1）与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积
V＝

∫

t 1

πy2dx＝

∫

t 1

πf2(x)dx=(π)/(3)[t2f(t)−f(1)]
对t求导，既得：
πf2(t)＝(π)/(3)[2tf(t)+t2f′(t)]
3f²（t）=2tf（t）+t²f'（t）
f′(t)＝3(f2(t))/(t2)−2(f(t))/(t)
令u＝(f(t))/(t)，则有：f（t）=ut
f'（t）=u+u't=3u²-2u
u't=3u²-3u
(du)/(3u2−3u)＝(dt)/(t)
(1)/(3)((1)/(u−1)−(1)/(u))du＝(1)/(t)dt
(1)/(3)[ln|u−1|−ln|u|]＝ln|t|+C，C为任意常数．
即：(u−1)/(ut3)＝C
代入u＝(f(t))/(t)，
则：(f(t)−t)/(t3f(t))＝C
即y=f（x）所满足的微分方程为：(y−x)/(x3y)＝C，C为任意常数．
该微分方程满足条件y|x＝2＝(2)/(9)，则C＝((2)/(9)−2)/(23×(2)/(9))＝−1
从而，该微分方程满足条件y|x＝2＝(2)/(9)的解为：y-x+x³y=0．