已知点P角MON的平分线上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使∠APB+∠MON=180°,PA=PB1）若点C是AB与OP的交点,当S△POB=S△MON时,求PB与PC的比值2）若角MON=60°,OB=2,

Question

已知点P角MON的平分线上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使
∠APB+∠MON=180°,PA=PB
1）若点C是AB与OP的交点,当S△POB=S△MON时,求PB与PC的比值
2）若角MON=60°,OB=2,射线AP交ON于点D,且满足角PBD=∠ABO,求OB的长

Answer 1

（1）作PE⊥OM,PF⊥ON,垂足为E、F
∵四边形OEPF中,∠OEP=∠OFP=90°,
∴∠EPF+∠MON=180°,已知∠APB+∠MON=180°,
∴∠EPF=∠APB,即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB,
∴∠EPA=∠FPB,
由角平分线的性质,得PE=PF,
∴△EPA≌△FPB,即PA=PB；

（2）∵S_△POB=3S_△PCB,
∴PO=3PC,
由（1）可知△PAB为等腰三角形,则∠PBC=12（180°-∠APB）=12∠MON=∠BOP,
又∵∠BPC=∠OPB（公共角）,
∴△PBC∽△POB,
∴PBPO=PCPB,
即PB²=PO•PC=3PC²,
∴PBPC=3

（3）作BH⊥OT,垂足为H,
当∠MON=60°时,∠APB=120°,
由PA=PB,得∠PBA=∠PAB=12（180°-∠APB）=30°,
又∵∠PBD=∠ABO,∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°,
∴∠ABO=12（180°-30°）=75°,则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°,
在△OBP中,∵∠BOP=30°,∴∠BPO=45°,
在Rt△OBH中,BH=12OB=1,OH=3,
在Rt△PBH中,PH=BH=1,
∴OP=OH+PH=3+1．