求与数列an=2的n次方+3的n次方+6的n次方-1中每项均互素的所有正整数

Question

求与数列an=2的n次方+3的n次方+6的n次方-1中每项均互素的所有正整数

Answer 1

由费马小定理,
a^(p-1)≡1（mod p）
于是
a·a^(p-2)≡1（mod p）
任取质数p>3,
对于n=p-2
6·an
=6·2^n+6·3^n+6·6^n-6
=6·2^(p-2)+6·3^(p-2)+6·6^(p-2)-6
=3·2^(p-1)+2·3^(p-1)+6^(p-1)-6
于是
存在6·an≡3·2^(p-1)+2·3^(p-1)+6^(p-1)-6（mod p）
存在6·an≡3·1+2·1+1-6（mod p）
存在6·an≡0（mod p）
这个式子意味着,任取质数p>3均有,6·an是p的倍数,
而6的质因数为2和3,与p显然互质,
因而
任取质数p>3均有,an是p的倍数
既然p>3的所有质数均不与an互质,那p>3的合数更无法与an互质.
下面讨论p≤3的数.
p=3时,n=1,an=10
因而,一个数要想与所有an都互质,那么应当与10互质,
因而,所求数应与2互质,而前面已经提到所求书与p>3的质数互质,
也就是说,所求的数应当与所有质数互质!
那么所求的数只有一个,1.
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