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已知幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1)在区间[2,3]上为增函数,求实数a的
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已知幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z) 为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1)在区间[2,3]上为增函数,求实数a的取值集合.
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1)在区间[2,3]上为增函数,求实数a的取值集合.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z) 为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.
∴
,解得m=1,此时f(x)=x2.
(2)由(1)可知:g(x)=loga(x2−ax)(a>0,且a≠1).
∵x2-ax>0,∴x(x-a)>0,∴0>x或x>a,∴函数g(x)的定义域为{x|a<x或x<0},且g(x)=loga[(x−
)2−
].
①当a>1时,g(u)=logau在区间(0,+∞)上单调递增,
∵已知函数g(x)在区间[2,3]上为增函数,
且函数y=(x−
)2−
在区间(
,a)上单调递增,
∴
≤2,∴a≤4,
∵a>1,∴1<a≤4.
②当0<a<1时,g(u)=logau在区间(0,+∞)上单调递减,
∵已知函数g(x)在区间[2,3]上为增函数,
当满足函数y=(x−
)2−
在区间(0,
)上单调递减时适合要求,
∴3≤
,解得a≥6,而0<a<1,故无解.
综上可知:实数a的取值集合是{a|1<a≤4}.
∴
|
(2)由(1)可知:g(x)=loga(x2−ax)(a>0,且a≠1).
∵x2-ax>0,∴x(x-a)>0,∴0>x或x>a,∴函数g(x)的定义域为{x|a<x或x<0},且g(x)=loga[(x−
a |
2 |
a2 |
4 |
①当a>1时,g(u)=logau在区间(0,+∞)上单调递增,
∵已知函数g(x)在区间[2,3]上为增函数,
且函数y=(x−
a |
2 |
a2 |
4 |
a |
2 |
∴
a |
2 |
∵a>1,∴1<a≤4.
②当0<a<1时,g(u)=logau在区间(0,+∞)上单调递减,
∵已知函数g(x)在区间[2,3]上为增函数,
当满足函数y=(x−
a |
2 |
a2 |
4 |
a |
2 |
∴3≤
a |
2 |
综上可知:实数a的取值集合是{a|1<a≤4}.
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