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某厂设计了一款成本为20元∕件的公益用品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:销售单价x(元∕件)…30405060…每天销售量y(件)…500400300200…(1)认

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某厂设计了一款成本为20元∕件的公益用品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:
销售单价x(元∕件) 30 40 50 60
每天销售量y(件) 500 400 300 200
(1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的y与x的函数关系,并求出函数关系式.
(2)当销售单价定为多少时,该厂试销该公益品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价-成本总价)
(3)当地民政部门规定,若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时,该厂每销售一件此公益品,国家就补贴该厂a元利润(a>4),公司通过销售记录发现,日销售利润随销售单价的增大而增大,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,根据统计表,得
500=30k+b
400=40k+b

解得:
k=−10
b=800

故函数关系式是y=-10x+800;
(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元,依题意得
W=(x-20)(-10x+800)
=-10x2+1000x-16000
=-10(x-50)2+9000
则当x=50时,W有最大值9000.
故当销售单价定为50元∕件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大,最大利润是9000元.
(3)设总利润为m元,则每件工艺用品的利润为(x-20+a)元,由题意,得
M=(-10x+800)(x-20+a),
=-10x2+10(100-a)x-16000+800a,
=-10(x-50+
1
2
a)2+
5
2
(100-a)2-16000+800a,
∵a=-10<0,
∴抛物线的开口向下,在对称轴的左侧M随x的增大而增大.
∴x=50-
1
2
a时,M有最大值.
∵日销售利润M随销售单价x的增大而增大,且x≤46,
∴50-
1
2
a≥46,
∴a≤8.
∵a>4,
∴4<a≤8.
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