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（2013•眉山二模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角

题目详情

（2013•眉山二模）如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求锐二面角A-C₁D₁-C的余弦值．

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）证明：如图（1），

连接CO、A₁O、AC、AB₁，（1分）
则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A₁B₁，
所以，四边形A₁B₁CO为平行四边形，（3分）
所以A₁O∥B₁C，
又A₁O⊄平面AB₁C，B₁C⊆平面AB₁C
所以A₁O∥平面AB₁C（6分）
（Ⅱ）因为D₁A=D₁D，O为AD中点，所以D₁O⊥AD
又侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，
所以D₁O⊥底面ABCD，（7分）
以O为原点，OC、OD、OD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D₁（0，0，1），A（0，-1，0）．（8分）所以

＝(1，−1，0)，

DD1

＝(0，−1，1)，

D1A

＝(0，−1，−1)，

D1C1

＝

＝(1，−1，0)，（9分）
设

＝(x，y，z)为平面C₁CDD₁的一个法向量，

由

⊥