求曲线x3-xy+y3=1（x≥0，y≥0）上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．

Question

求曲线x³-xy+y³=1（x≥0，y≥0）上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．

Answer 1

构造函数L（x，y）=x²+y²+λ（x³-xy+y³-1）
令

(∂L)/(∂x)＝2x+λ(3x2−y)＝0

(∂L)/(∂y)＝2y+λ(3y2−x)＝0

x3−xy+y3＝1

，得唯一驻点x=1，y=1，即M₁（1，1）．
考虑边界上的点，M₂（0，1），M₃（1，0）；
距离函数f(x，y)＝√(x2+y2)在三点的取值分别为f(1，1)＝√(2)， f(0，1)＝1， f(1，0)＝1，
所以最长距离为√(2)，最短距离为1．