已知函数F（x）=ex满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(−∞，22)B．(

Question

已知函数F（x）=e^x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．(−∞，2√(2))
B．(−∞，2√(2)]
C．(0，2√(2)]
D．(2√(2)，+∞)

Answer 1

∵F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，
∴g（x）+h（x）=e^x，
则g（-x）+h（-x）=e^-x，
即g（x）-h（x）=e^-x，
解得g（x）=(ex+e−x)/(2)，h（x）=(ex−e−x)/(2)，
则∀x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，
等价为(e2x+e−2x)/(2)−a⋅(ex−e−x)/(2)≥0恒成立，
∴a≤(e2x+e−2x)/(ex−e−x)=((ex−e−x)2+2)/(ex−e−x)＝(ex−e−x)+(2)/(ex−e−x)，
设t=e^x-e^-x，则函数t=e^x-e^-x在[1，2]上单调递增，
∴e-e^-1≤t≤e²-e^-2，
此时 不等式t+(2)/(t)≥2√(t•(2)/(t))＝2√(2)，
∴a≤2√(2)，
即实数a的取值范围是a≤2√(2)，
故选：B．