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已知函数f(x)=(ax)-x,若对任意的x∈(0,1),有不等式f(1-x)f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=(
)-x,若对任意的x∈(0,1),有不等式f(1-x)f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.
a |
x |
▼优质解答
答案和解析
f(x)=
-x,f(1-x)=
-(1-x),
对任意x属于(0,1),不等式f(x)f(1-x)≥1,
⇔(a-x2)[a-(1-x)2]≥x(1-x),
⇔a2-a[x2+(1-x)2]+[x(1-x)]2≥x(1-x),①
设u=x(1-x)∈(0,
],①变为a2-a(1-2u)+u2-u≥0,
即(a+u)(a+u-1)≥0,
∴a≤-u,或a≥1-u,
∴a≤-
,或a≥1,
∴实数a的取值范围是:{a|a≤-
,或a≥1}.
a |
x |
a |
1−x |
对任意x属于(0,1),不等式f(x)f(1-x)≥1,
⇔(a-x2)[a-(1-x)2]≥x(1-x),
⇔a2-a[x2+(1-x)2]+[x(1-x)]2≥x(1-x),①
设u=x(1-x)∈(0,
1 |
4 |
即(a+u)(a+u-1)≥0,
∴a≤-u,或a≥1-u,
∴a≤-
1 |
4 |
∴实数a的取值范围是:{a|a≤-
1 |
4 |
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