已知函数f（x）=-1a+2x（x＞0）．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）解关于x的不等式f（x）＞0；（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=-(1)/(a)+(2)/(x)（x＞0）．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0；
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）在（0，+∞）上为减函数，证明如下：
∵f'（x）=-(2)/(x2)＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（2）由f（x）＞0得-(1)/(a)+(2)/(x)＞0，
即(x−2a)/(ax)＜0．
①当a＞0时，不等式解集为{x|0＜x＜2a}．
②当a＜0时，原不等式为(x−2a)/(x)＞0．
解集为{x|x＞0}．
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即-(1)/(a)+(2)/(x)+2x≥0．∴(1)/(a)≤(2)/(x)+2x．
∵(2)/(x)+2x≥4，∴(1)/(a)≤4．
解得a＜0或a≥(1)/(4)．