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若N是大于2的整数,求1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值 若N是大于2的“正”整数,
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若N是大于2的整数,求1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值
若N是大于2的“正”整数,
若N是大于2的“正”整数,
▼优质解答
答案和解析
引入排列｛Dn｝
令 Dn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/2n,（n∈N 且n＞2）
则,Dn+1 = 1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)
∴Dn+1 - Dn = 1/(2n+1)+1/(2n+2) - 1/(n+1) = 1/(2n+1) - 1/(2n+2)
所以有,Dn - Dn-1 = 1/(2n-1) - 1/2n
Dn-1 - Dn-2 = 1/(2n-3) - 1/(2n-2)
…………
D4-D3 = 1/(2*3+1) - 1/(2*3+2)
∵当n∈N 且n＞2时,1/(2n-1) - 1/2n＞0恒成立,
∴Dn＞Dn-1＞Dn-2＞……＞D4＞D3
即min｛Dn｝= D3 = 1/(3+1)+1/(3+2)+1/(3+3) = 37/60
即1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值是 37/60 ,其中n∈N 且n＞2
令 Dn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/2n,（n∈N 且n＞2）
则,Dn+1 = 1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)
∴Dn+1 - Dn = 1/(2n+1)+1/(2n+2) - 1/(n+1) = 1/(2n+1) - 1/(2n+2)
所以有,Dn - Dn-1 = 1/(2n-1) - 1/2n
Dn-1 - Dn-2 = 1/(2n-3) - 1/(2n-2)
…………
D4-D3 = 1/(2*3+1) - 1/(2*3+2)
∵当n∈N 且n＞2时,1/(2n-1) - 1/2n＞0恒成立,
∴Dn＞Dn-1＞Dn-2＞……＞D4＞D3
即min｛Dn｝= D3 = 1/(3+1)+1/(3+2)+1/(3+3) = 37/60
即1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值是 37/60 ,其中n∈N 且n＞2
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