n为非0自然数,试证n^13n定能被2730整除.2730=2*3*5*7*13,n^13-n=n(n^12-1),n^12-1=n^(13-1)-1=(n^2)^(7-1)1=(n^3)^(5-1)1=(n^6)^(3-1)1=(n^12)^(2-1)1.若n与2、3、5、7、13互质则n^12-1定能被这五数整除,若是等五数之中有与

Question

n为非0自然数,试证n^13_n定能被2730整除.
2730=2*3*5*7*13,n^13-n=n(n^12-1),n^12-1=n^(13-1)-1=(n^2)^(7-1)_1=(n^3)^(5-1)_1=(n^6)^(3-1)_1=(n^12)^(2-1)_1.若n与2、3、5、7、13互质则n^12-1定能被这五数整除,若是等五数之中有与n不互质者,则此数得整除n^13-n甚明.故如题所言.

Answer 1

欧拉定理及推理
对于任意正整数a,有a^p ≡ a (mod p)
参考baike.baidu.com/view/48903.htm
则
① N^13 ≡ N (MOD 13),N^13 - N ≡ 0 (MOD 13)
② (N^14 - N^2)/N
同法,(N^2)^7 - (N^2) ≡ 0 (MOD 7)
③ (N^15 - N^3)/N^2
同法,(N^3)^5 - (N^3) ≡ 0 (MOD 5)
④ (N^18 - N^6)/N^5
同法,(N^6)^3 - (N^6) ≡ 0 (MOD 3)
或用因式分解
⑤因式分解或奇偶分析,得n^13-n ≡ 0 (MOD 2)
2*3*5*7*13=2730
综上,n^13 - n ≡ 0 (MOD 2730)