如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边AB＝2的等腰直角三角形，B1A1∥BA，B1A1＝12BA．（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．

Question

如图所示的多面体中，正方形BB₁C₁C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边AB＝√(2)的等腰直角三角形，B₁A₁∥BA，B1A1＝(1)/(2)BA．
（1）求证：C₁A₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）求直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值．

Answer 1

解法1：（1）证明：取AB的中点O，连接A₁O，OC．
∵AC=BC，∴CO⊥AB，
∵四边形A₁OBB₁为平行四边形，∴BB1

∥

.

.

A1O
∵BB1

∥

.

.

CC1，∴A1O

∥

.

.

CC1
又由CC₁⊥面ABC知CC₁⊥CO，∴四边形A₁OCC₁为矩形，
∴A₁C₁⊥A₁O，A₁C₁⊥AB…（4分）
又∵A₁O∩AB=C，∴C₁A₁⊥平面ABB₁A₁…（6分）
（2）作BD⊥直线AA₁于D，连接C₁D．
由（1）知平面AA₁C₁⊥平面ABB₁A₁，从而BD⊥平面AA₁C₁，
∴∠BC₁D即为直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角．…（8分）
∵A1O＝1，AO＝(√(2))/(2)，∴AA1＝(√(3))/(√(2))，
于是(BD)/(AB)＝sin∠BAA1＝(A1O)/(AA1)，∴BD＝(2)/(√(3))
∴sin∠BC1D＝(BD)/(BC1)＝(√(6))/(3)，
∴直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值为(√(6))/(3)．…（12分）
解法2：CA，CB，CC₁两两垂直，且CA=CB=CC₁=1，以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，1)，A1((1)/(2)，(1)/(2)，1)，
所以

AC1

＝(−1，0，1)，

C1A1

＝((1)/(2)，(1)/(2)，0)，

AA1

＝(−(1)/(2)，(1)/(2)，1)，

AB

＝(−1，1，0)．…（2分）
（1）证明：∵

C1A1

•

AA1

＝0，

C1A1

•

AB

＝0，
∴C₁A₁⊥AA₁，C₁A₁⊥AB，
又∵AA₁∩AB=A，
∴C₁A₁⊥平面ABB₁A₁…（6分）
（2）设面A₁C₁C的法向量为

n

＝(x，y，z)，
由

n

•

AC1

＝0，

n

•

C1A1

＝0，可得

−x+z＝0

(1)/(2)x+(1)/(2)y＝0

，
令x=1，则

n

＝(1，−1，1)…（8分）
又

BC1

＝(0，−1，1)，
设直线B证明C₁与平面AA₁C₁所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈

n

，

BC1

＞|＝|(n•BC1)/(|n||BC1|)|＝(2)/(√(3)×√(2))＝(√(6))/(3)．…（12分）