哪位高人会用第二数学归纳法证明平均值不等式啊可是题目就是这样出的呀,我晕的一踏,我会用倒序归纳法证明,但不会第二归纳法的,继续拜求

Question

哪位高人会用第二数学归纳法证明平均值不等式啊
可是题目就是这样出的呀,我晕的一踏,我会用倒序归纳法证明,但不会第二归纳法的,继续拜求

Answer 1

第二数学归纳法
显然当n=2时有
(x1+x2)/2≥(x1x2)^(1/2)
设当n=1,2,...,k时成立,当n=k+1时
则[x1+x2+...+xk+x(k+1)]+(k-1)(x1*x2*...x(k+1)^[1/(1+k)]
=(x1+x2+...+xk)+X(k+1)+(k-1)(x1*x2*...x(k+1)^[1/(1+k)]
≥k（x1*x2*...xk)^(1/k)+k{X(k+1)*[x1*x2*...x(k+1)]^[(k-1)/(k+1)]}(1/k)
≥k(2（x1*x2*...xk)^(1/2k)*{X(k+1)*[x1*x2*...x(k+1)]^[(k-1)/(k+1)]}(1/2k)
=2k(x1*x2*...x(k+1)^[1/(1+k)]
=> (x1+x2+...+xk+X(k+1)≥(k+1)(x1*x2*...x(k+1)^[1/(1+k)]
故当n=k+1时也成立.原命题得证