已知数列{an}的前n项和是Sn,且对于任意自然数n,Sn=6-an-3/[2^(n-1)],求通项公式an

Question

已知数列{an}的前n项和是Sn,且对于任意自然数n,Sn=6-an-3/[2^(n-1)],求通项公式an

Answer 1

对于任意自然数n,Sn=6-an-3/[2^(n-1)],
当n=1时,S1=6-a1-3/[2^0],a1=3/2.
当n≥2时,S(n-1)=6-a(n-1)-3/[2^(n-2)],
Sn=6-an-3/[2^(n-1)],
以上两式相减得：an=-an+ a(n-1) -3/[2^(n-1)]+ 3/[2^(n-2)]
即an=-an+ a(n-1) + 3/[2^(n-1)]
2 an= a(n-1) + 3/[2^(n-1)]
两边同乘以2^(n-1)可得：2^n•an=2^(n-1) •a(n-1)+3,
这说明数列{2^n•an }是首项为2a1=3,公差为3的等差数列.
2^n•an=3+3(n-1),
2^n•an=3n,
an=3n/2^n.