如图,一个正三棱锥的顶点是圆柱上底面的圆心,正三棱锥的底面是圆柱下底面的内接正三角形（这样的正三棱锥叫做圆柱的内接正三棱锥）.如果在这个圆柱体中挖去这个正三棱锥得到的几

Question

如图,一个正三棱锥的顶点是圆柱上底面的圆心,
正三棱锥的底面是圆柱下底面的内接正三角形 （这样的正三棱锥叫做圆柱的内接正三棱锥）.如果在这个圆柱体中挖去这个正三棱锥得到的几 何体如图所示,按图中所给尺寸求所得几何体的 体积和表面积

Answer 1

设底圆内接正三角形的边长为a,a=Dcos30°=40*√3/2.
∴a=20√3.
底面正三角形的高h1=(√3/2)a=30.
内接正三棱锥的侧棱长l=√{H^2+[(2/3)h1]^2}.【H --圆柱高】
l=√(60^2+202).
l=20√10.
内接正三棱锥的侧面高h2=√[l^2-(a/2)^2].
h2=√(4000-300).
=√3700.
=10√37.
内接正三棱锥的3个侧面积S1=3*(1/2)a*h2.
S1=3*(1/2)*20√3*10√37.
=300√37.
内接正三角形的面积S2=(√3/4)*a^2.
S2=(√3/4)*(20√3)^2.
=300√3.
整个组合体的表面积S=圆柱体侧表面积+2个底面积-S2+S1.
S=πD*H+2*(πR^2)-300√3+300√37.
=π*40*60+2π*20^2+300(√37-√3).
=3200π+300*(√37-√3).
∴ S≈8743 (面积单位).---即为所求的组合体的面积.
内接正三棱锥的体积V1=(1/3)*S2*H.
V1=(1/3)*300√3*60.
=6000√3.
整个组合体的体积V=圆柱体的体积-V1
V=πR^2*H-V1.
=400*60π-6000√3.
=24000π-6000√3.
∴V≈64968 (体积单位）.--- 即为所求组合体的体积.