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在半径为15的球内有一个底面边长为的内接正三棱锥,则此正三棱锥的体积为.
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在半径为15的球内有一个底面边长为
的内接正三棱锥,则此正三棱锥的体积为________.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828b49ce1624fe1f4134960a5a0c.jpg)
▼优质解答
答案和解析
或![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9f2f070828381f30e146b763aa014c086f06f098.jpg)
如
图
设球的球心为O,内接正三棱锥为E-BCD,
则三角形BCD为正三角形,边长BC=
,外接圆半径AC=
=12
球的半径OC=OE=15
(1)若E、A分别在球心O的两侧(如图1),则在Rt△OAC中,OA=
=
=9
∴正三棱锥为E-BCD的高EA=OE+OA=15+9=24
∴正三棱锥为E-BCD的体积![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3119313b07eca80825970f7952397dda1448346.jpg)
=![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/54fbb2fb43166d22f70f5c84422309f79052d2a2.jpg)
(2)若E、A分别在球心O的同侧(如图2),则
在Rt△OAC中,OA=
=
=9
∴正三棱锥为E-BCD的高EA=OE-OA=15-9=6
∴正三棱锥为E-BCD的体积
=![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a044ad345982b2b73fc370d435adcbef76099b46.jpg)
故答案为
或
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b21bb051f8198618cc1bd54e49ed2e738ad4e698.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9f2f070828381f30e146b763aa014c086f06f098.jpg)
如
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2934349b033b5bb51f8b69ee32d3d539b600bc46.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/359b033b5bb5c9eac2af4af3d139b6003af3b346.jpg)
则三角形BCD为正三角形,边长BC=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d52a2834349b033b8ed4b5ca11ce36d3d539bd46.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d3d539b6003af3e6e69570312ac65c1038b646.jpg)
球的半径OC=OE=15
(1)若E、A分别在球心O的两侧(如图1),则在Rt△OAC中,OA=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c103853431993ce319713b07eca808846.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c75c10385343fbf25170ef33b47eca8065388f46.jpg)
∴正三棱锥为E-BCD的高EA=OE+OA=15+9=24
∴正三棱锥为E-BCD的体积
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3119313b07eca80825970f7952397dda1448346.jpg)
=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/54fbb2fb43166d22f70f5c84422309f79052d2a2.jpg)
(2)若E、A分别在球心O的同侧(如图2),则
在Rt△OAC中,OA=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c103853431993ce319713b07eca808846.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c75c10385343fbf25170ef33b47eca8065388f46.jpg)
∴正三棱锥为E-BCD的高EA=OE-OA=15-9=6
∴正三棱锥为E-BCD的体积
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3119313b07eca80825970f7952397dda1448346.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a044ad345982b2b73fc370d435adcbef76099b46.jpg)
故答案为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bf096b63f6246b60c476fb64eff81a4c510fa2a2.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/30adcbef76094b3659ce52fda7cc7cd98d109d46.jpg)
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