平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A.43aB.63aC.54aD.64a

Question

平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值(√(3))/(2)a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）
A. (√(4))/(3)a
B. (√(6))/(3)a
C. (√(5))/(4)a
D. (√(6))/(4)a

Answer 1

类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 (√(3))/(2)a，
在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，
如图：
由棱长为a可以得到BF=(√(3))/(2)a，BO=AO=(√(6))/(3)a-OE，
在直角三角形中，根据勾股定理可以得到
BO²=BE²+OE²，
把数据代入得到OE=(√(6))/(12)a，
∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×(√(6))/(12)a=(√(6))/(3)a，
故选B．