求棱长都为a有正四棱锥的外接球的表面积．

Question

求棱长都为a有正四棱锥的外接球的表面积．

Answer 1

略

如图，四棱锥P-ABCD的各顶点都在同一个球面上，设为正方形ABCD的中心，则是正四棱锥的高且其外接球的球心O在上．不妨设外接球的半径为R，则OP=OA=R．

∵正四棱锥的所有的棱长都是a，可知，又AP=a，

∴．

∴，可知便是正四棱锥的外接球的球心．

∴．

∴．

正四棱锥是轴对称图形，它的高也就是对称轴，球也是轴对称图形，可知球心应在正四棱锥的高上，根据球心到各顶点的距离相等；建立相应的关系式便可求邮外接球的半径．