已知点E是三角形ABC的内心,连接AE并延长交BC于点F,且与三角形ABC的外接圆相交于点D.若AD=12,DF：FA=1：3.求DE的长.

Question

已知点E是三角形ABC的内心,连接AE并延长交BC于点F,且与三角形ABC的外接圆相交于点D.若
AD=12,DF：FA=1：3.求DE的长.

Answer 1

连结BE、BD,则由E是△ABC的内心可得
∠1=∠2=∠5   且   ∠3=∠4
∴∠EBD=∠4+∠5=∠3+∠2=∠BED
∴DE=BD
又∵∠2=∠5
∴BD是△ABF外接圆的切线（弦切角定理逆定理）
∴BD^2=DF·DA （切割线定理,注：此式也可通过证△BDF∽△BDA得出,略繁.）
又∵AD=DF+FA=12        DF：FA=1：3
∴DF=3
∴BD^2=3×12=36
∴BD=DE=6