三角形ABC中,AD是BC边上的中线,∠BAD=45度,∠DAC=30度且BD=DC,求tan∠ADB

Question

三角形ABC中,AD是BC边上的中线,∠BAD=45度,∠DAC=30度且BD=DC,求tan∠ADB

Answer 1

由正弦定理知：
BD/sin45°=AD/sinB => BD=ADsin45°/sinB
AD/sinC=DC/sin30° => DC=ADsin30°/sinC
因为BD=DC所以ADsin45°/sinB=ADsin30°/sinC => √2sinC=sinB
过D作DE⊥AB于E,设∠BDE=β,则∠B=90°-β,∠C=15°+β
所以√2sin(15°+β)=sin(90°-β)=cosβ
=>√2sin15°cosβ+√2cos15°sinβ=cosβ
=>√2sin15°+√2cos15°tanβ=1
=>tanβ=(1-√2sin15°)/√2cos15°
所以tan∠ADB=tan(45°+β)=(1+tanβ)/(1-tanβ)
=(√2cos15°-√2sin15°+1)/(√2cos15°+√2sin15°-1)
=[2sin(45°-15°)+1]/[2sin(45°+15°)-1]
=(2sin30°+1)/(2sin60°-1)=√3+1