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如图,边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,,M为BC的中点。(1)证明:AM⊥PM;(2)求二面角P-AM-D的大小;(3)求点D到平面AMP的距离。
题目详情
如图,边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面, ,M为BC的中点。 |
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(1)证明:AM⊥PM; (2)求二面角P-AM-D的大小; (3)求点D到平面AMP的距离。 |
▼优质解答
答案和解析
(1)取CD的中点E,连接PE、EM、EA 因为△PCD为正三角形, 所以PE⊥CD 因为平面PCD⊥平面ABCD, 所以PE⊥平面ABCD, 所以AM⊥PE 因为四边形ABCD是矩形, 所以△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形 由勾股定理可求得 ,AE=3 所以EM 2 +AM 2 =AE 2 , 所以AM⊥EM 又PE∩EM=E, 所以AM⊥平面PEM 所以AM⊥PM。 (2)由(1)可知EM⊥AM,PM⊥AM, 所以∠PME是二面角P-AM-D的平面角 所以 所以∠PME=45° 所以二面角P-AM-D的大小为45°。 (3)设D点到平面PAM的距离为d,连接DM, 则V P-ADM = V D-PAM , 所以 而 在Rt△PEM中,由勾股定理可求得 , 所以S △PAM = 所以 所以 即点D到平面AMP的距离为 。 |
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