如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，ΔPCD的重心G在底面ABCD上的射影恰好是ΔACD的重心N，且GN=AB=．(1)求证：AN⊥PB；(2)求点B到平面PCD的距离；(3)求二面角B-PC-A的大小．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，ΔPCD的重心G在底面ABCD上的射影恰好是ΔACD的重心N，且GN=AB=．
(1)求证：AN⊥PB；
(2)求点B到平面PCD的距离；
(3)求二面角B-PC-A的大小．

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Answer 1

【分析】(1)N是G在面ABCD上的射影，推出GN⊥面ABCD，GN∥PA，以及PA⊥平面ABCD，连PG交CD于点M，则点M为CD的中点，且AN过点M
证明AN⊥CD，AB∥CD，得到AN⊥PB
(2)说明点B到面PCD的距离等于点A到面PCD的距离，过点A作AE⊥PM
AE⊥平面PCD，然后求出，即点B到平面PCD的距离为．
(3)连接BD，过B作BK⊥PC交PC于K，AC与BD交于点O，连KO，说明∠BKO为二面角B-PC-A的平面角
在RtΔBKO中，，二面角B-PC-A的大小为．

(1)证明：∵N是G在面ABCD上的射影，
∴GN⊥面ABCD，又G、N分别为ΔPCD和ΔACD的重心，
∴GN∥PA
∴PA⊥平面ABCD
∴AB为PB在平面ABCD内射影，连PG交CD于点M，则点M为CD的中点，且AN过点M
∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴AN⊥CD，又AB∥CD，
∴AN⊥AB，∴AN⊥PB(4分)
(2)∵AB∥CD
∴AB∥平面PCD，
∴点B到面PCD的距离等于点A到面PCD的距离，过点A作AE⊥PM
∴AN⊥CD
又PA⊥平面ABCD
∴CD⊥PM
∴CD⊥平面PAM
∴CD⊥AE
∴AE⊥平面PCD
∴AE为点A到平面PCD的距离
∵GN=PA=1，∴PA=AB=3，AM=，∴PM
∴AE=，
即点B到平面PCD的距离为(8分)
(3)连接BD，过B作BK⊥PC交PC于K，AC与BD交于点O，连KO，易知PC⊥平面KO
∴PC⊥KO，则∠BKO为二面角B-PC-A的平面角
∵AB=3
∴BO=，∴KO=
在RtΔBKO中，tan∠BKO=
∴二面角B-PC-A的大小为arctan(12分)

【点评】本题是中档题，考查直线与直线的垂直，点到平面的距离，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．