如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，E，F分别是BC，PC的中点，FD⊥面ABCD且FD=1．（1）证明：PA=PD；（2）证明：AD⊥PB；（3）求AP与面DEF所成角的正弦值；（4）求二面角P-

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，E，F分别是BC，PC的中点，FD⊥面ABCD且FD=1．
（1）证明：PA=PD；
（2）证明：AD⊥PB；
（3）求AP与面DEF所成角的正弦值；
（4）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

∵ABCD是菱形且∠DAB=60°，E为BC中点，
∴AD⊥DE且DE＝√(3)，
又∵DF⊥面ABCD，
∴DA，DE，DF两两垂直，
以D为原点建立如图直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B(1，√(3)，0)，C(−1，√(3)，0)，F（0，0，1）；
∵F为PC中点，∴P(1，−√(3)，2)
（1）∴PA＝√((1−2)2+(−√(3))2+22)＝2√(2)，PD＝√(12+(−作业帮用户2016-12-08问题解析（1）又D为坐标原点，建立空间坐标系，根据已知求出各点坐标，进而求出向量PA，PB的坐标，代入向量模的公式，求出两向量的模，可证得PA=PD；（2）求出线段AD与PB的方向向量，代入向量的数量积公式，根据向量的数量积为0，两向量垂直可得AD⊥PB；（3）设AP与面DEF所成的角为θ，求出线段AP的方向向量和平面DEF的法向量，代入向量夹角公式，可得AP与面DEF所成角的正弦值；（4）分别求出平面PAD与平面BAD的法向量，代入向量夹角公式，根据二面角为钝二面角，可得二面角P-AD-B的余弦值名师点评本题考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．考点点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，建立空间坐标系，将空间几何中的长度，垂直，夹角问题转化为向量的模，及向量的夹角问题是解答的关键．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)