如下图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝，，．(Ⅰ)求点D到平面PBC的距离；(Ⅱ)求二面角C－PD－A的大小．

Question

如下图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝，，．

(Ⅰ)求点D到平面PBC的距离；(Ⅱ)求二面角C－PD－A的大小．

Answer 1

　　(Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABCD中，

　　∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离．

　　∵∠ABC＝，∴AB⊥BC，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，

　　∴BC⊥平面PAB，　　2分

　　∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，

　　∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．而，∴．　　5分

　　即点D到平面PBC的距离为．　　6分

　　(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，

　　引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，

　　∴MN是CN在平面PAD上的射影，

　　由三垂线定理可知CN⊥PD，

　　∴∠CNM是二面角的平面角．　　9分

　　依题意，，

　　∴，∴，

　　可知，∴，

　　，∴二面角的大小为　　12分

　　解法二：如图，A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

　　(Ⅰ)依题意，，

　　∴，

　　∴．则，，，

，

　　∴，，．

　　设平面PBC的一个法向量为，则

　　令，得，

　　则点D到平面PBC的距离等于．　　6分

　　(Ⅱ)∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为．

　　设平面PDC的一个法向量为，

　　∵，，∴

　　令，得，∴．

　　∵二面角C－PD－A是锐二面角，∴二面角C－PD－A的大小为．　　12分