（2013•闵行区二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝π2，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求四棱锥B-AEFC的体积；（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成

Question

（2013•闵行区二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC＝(π)/(2)，AB=AC=2，AA₁=6，点E、F分别在棱AA₁、CC₁上，且AE=C₁F=2．
（1）求四棱锥B-AEFC的体积；
（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．

Answer 1

（1）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，所以A₁A⊥底面ABC，所以A₁A⊥AB，
又AB⊥AC，AC∩A₁A=A，所以AB⊥面AA₁C₁C，则AB为四棱锥B-AEFC的高．
在直角梯形AEFC中，因为AE=2，AC=2，CF=4，所以SAEFC＝(1)/(2)(2+4)×2＝6．
所以V_B-AEFC=(1)/(3)SAEFC•AB＝(1)/(3)×6×2＝4．
（2）以A为坐标原点，分别以AC，AB，AA₁所在直线为x，y，z建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F（2，0，4），

EF

＝(2，0，2)，

EB

＝(0，2，−2)
设平面BEF的法向量为

n

＝(x，y，z)，则
√(n•EF＝0作业帮用户2017-10-10扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)