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(2013•闵行区二模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π2,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱AA1、CC1上,且AE=C1F=2.(1)求四棱锥B-AEFC的体积;(2)求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成
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π |
2 |
(1)求四棱锥B-AEFC的体积;
(2)求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以A1A⊥底面ABC,所以A1A⊥AB,
又AB⊥AC,AC∩A1A=A,所以AB⊥面AA1C1C,则AB为四棱锥B-AEFC的高.
在直角梯形AEFC中,因为AE=2,AC=2,CF=4,所以SAEFC=
(2+4)×2=6.
所以VB-AEFC=
SAEFC•AB=
×6×2=4.
(2)以A为坐标原点,分别以AC,AB,AA1所在直线为x,y,z建立如图所示的直角坐标系,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d009b3de9c82d15876b68700830a19d8bc3e424f.jpg)
则A(0,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),F(2,0,4),
=(2,0,2),
=(0,2,−2)
设平面BEF的法向量为
=(x,y,z),则
又AB⊥AC,AC∩A1A=A,所以AB⊥面AA1C1C,则AB为四棱锥B-AEFC的高.
在直角梯形AEFC中,因为AE=2,AC=2,CF=4,所以SAEFC=
1 |
2 |
所以VB-AEFC=
1 |
3 |
1 |
3 |
(2)以A为坐标原点,分别以AC,AB,AA1所在直线为x,y,z建立如图所示的直角坐标系,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d009b3de9c82d15876b68700830a19d8bc3e424f.jpg)
则A(0,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),F(2,0,4),
EF |
EB |
设平面BEF的法向量为
n |
|
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