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已知空间四边形ABCD中,AB="BC"="CD="AD="BD"=AC,E、F分别为AB、CD的中点,(1)求证:EF为AB和CD的公垂线(2)求异面直线AB和CD的距离
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已知空间四边形 ABCD 中, AB =" BC" ="CD=" AD =" BD" = AC , E 、 F 分别为 AB 、 CD 的中点, (1)求证: EF 为 AB 和 CD 的公垂线 (2)求异面直线 AB 和 CD 的距离 ![]() |
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答案和解析
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构造等腰三角形证明 EF 与 AB 、 CD 垂直,然后在等腰三角形中求EF 解;①连接 BD 和 AC , AF 和 BF , DE 和 CE 设四边形的边长为 a ∵ AD = CD = AC = a ∴△ ABC 为正三角形 ∵ DF = FC ∴ AF ^ DC 且 AF = ![]() 同理 BF = ![]() ![]() 即△ AFB 为等腰三角形 在△ AFB 中, ∵ AE = BE ∴ FE ^ AB 同理在△ DEC 中 EF ^ DC ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的公垂线 ②在△ AFB 中 ∵ EF ^ AB 且 ![]() ∴ ![]() ∵ ![]() ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的距离 ∴ AB 和 CD 的距离为 ![]() |
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