已知空间四边形ABCD中，AB="BC"="CD="AD="BD"=AC,E、F分别为AB、CD的中点，（1）求证：EF为AB和CD的公垂线（2）求异面直线AB和CD的距离

Question

已知空间四边形 ABCD 中， AB =" BC" ="CD=" AD =" BD" = AC , E 、 F 分别为 AB 、 CD 的中点，
（1）求证： EF 为 AB 和 CD 的公垂线
（2）求异面直线 AB 和 CD 的距离

Answer 1

构造等腰三角形证明 EF 与 AB 、 CD 垂直，然后在等腰三角形中求EF
解；①连接 BD 和 AC ， AF 和 BF ， DE 和 CE
设四边形的边长为 a
∵ AD = CD = AC = a
         ∴△ ABC 为正三角形
∵ DF = FC
         ∴ AF ^ DC 且 AF =
同理 BF = A
        
         即△ AFB 为等腰三角形
在△ AFB 中，
∵ AE = BE
         ∴ FE ^ AB
同理在△ DEC 中
EF ^ DC
         ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的公垂线
②在△ AFB 中     
∵ EF ^ AB 且
∴                      
∵
∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的距离
∴ AB 和 CD 的距离为