数列{an}前n项和Sn=2an+3/2×(-1)^n-1/2(1)求an的通项公式(2)证明1/S1+1/S2+…+1/Sn

Question

数列{an}前n项和Sn=2an+3/2×(-1)^n-1/2 (1)求an的通项公式(2)证明1/S1+1/S2+…+1/Sn<10/9

Answer 1

(1)
Sn=2an+3/2*(-1)^n-1/2
a1=S1=2a1-3/2-1/2
a1=2;
Sn-S(n-1)=2*[an-a(n-1)]+3/2*(-1)^n-3/2*(-1)^(n-1)
an=Sn-S(n-1)=2[an-a(n-1)]+3*(-1)^n
an=2*a(n-1)-3*(-1)^n=2*a(n-1)+3*(-1)^(n-1)
an+1*(-1)^n=2*a(n-1)+3*(-1)^(n-1)-1*(-1)^(n-1)=2*a(n-1)+2*(-1)^(n-1)=2*[a(n-1)+(-1)^(n-1)]
所以,an+(-1)^n=2*[a(n-1)+(-1)^(n-1)]=2^2*[a(n-2)+(-1)^(n-2)]=2^(n-1)*[a1+(-1)^1];
a1=2;(-1)^1=-1;
所以,an+(-1)^n=2^(n-1),即an=2^(n-1)-(-1)^n=2^(n-1)+(-1)^(n-1)
a1=2^0+(-1)^0=2
a2=2^1+(-1)=1
a3=2^2+1=5
……
S1=2;S2=3;S3=8
(2)
Sn=2^(n-1)+2^(n-2)+...+2^0 +(-1)^0+(-1)^1+...+(-1)^(n-1)
Sn=2^n-1+[1+(-1)^(n-1)]/2
就说,当n为奇数的时候Sn=2^n
当n为偶数的时候Sn=2^n-1
1/S1+1/S2+…+1/Sn=1/2+1/3+1/8+1/15+...+1/sn
拆成两组,n为奇数组,1/S1+1/S3+1/S5+...=1/2+1/8+1/32+...=1/2(1+1/4+1/16+..)=1/2*(4/3)=2/3;
另一组,1/3+1/15+1/63+...=1/3+1/15+1/63+1/255+..