已知平面内三点A,B,C,和线段MN,若AM=AN,BM=BN,CM=CN,则A,B,C三点在同一直线上吗?为什么?

Question

已知平面内三点A,B,C,和线段MN,若AM=AN,BM=BN,CM=CN,则A,B,C三点在同一直线上吗?为什么?

Answer 1

解析：
正确,A,B,C三点在同一直线上.
作MN中点D,连结AD,BD,CD
设过AD.BD这两条相交直线的平面为β,已知平面为α
因为AM=AN,BM=BN,CM=CN
所以AD⊥MN,BD⊥MN,CD⊥MN
则由线面垂直的判定定理可得：
MN⊥平面β
因为点D∈平面β,CD⊥MN
所以由线面垂直的性质可知CD ⊂平面β
即C∈平面β
因为C∈平面α,所以C∈平面α∩平面β
又A∈平面β,B∈平面β,A∈平面α,B∈平面α
则平面α∩平面β＝AB
所以由平面的基本性质可得：
C∈AB即点C在直线AB上
所以A.B.C三点共线.