试用单调性的定义讨论函数y=x+1x的单调区间，并画出该函数草图．

Question

试用单调性的定义讨论函数y=x+(1)/(x)的单调区间，并画出该函数草图．

Answer 1

∵定义域：{x|x≠0}，
∴在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论．
任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）
=x₂+(1)/(x2)-x₁-(1)/(x1)
=（x₂-x₁）+(x1-x2)/(x1x2)
=（x₂-x₁）（1-(1)/(x1x2) ），
要确定此式的正负只要确定1-(1)/(x1x2) 的正负即可．
（1）当x₁、x₂∈（0，1）时，1-(1)/(x1x2)＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，为减函数，
（2）当x₁、x₂∈（1，+∞）时，1-(1)/(x1x2)＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，为增函数．
同理可求（3）当x₁、x₂∈（-1，0）时，为减函数；
（4）当x₁、x₂∈（-∞，-1）时，为增函数．
画出函数y=x+(1)/(x)的图象，如图示：
．