已知△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,BE=EC,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,连接DE交AB于点F,试探究线段DF与EF的数量关系,并加以证明

Question

已知△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,BE=EC,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,连接DE交AB于点F,试探究线段DF与EF的数量关系,并加以证明

Answer 1

DF＝EF
证明：过点D作DM⊥AB于M,过点E作EN⊥BC于N,连接MN
∵DA＝DB,DM⊥AB
∴AM＝BM,∠BDM＝∠ADM＝∠ADB/2
∵∠ADB＝2∠ABC
∴∠BDM＝∠ABC
∵DM⊥AB
∴∠BDM+∠DBA＝90
∵∠ACB＝90
∴∠CAB+∠ABC＝90
∴∠CAB＝∠DBA
∴DB∥AC
∵BE＝CE,EN⊥BC
∴∠BEN＝∠CEN＝∠BEC/2,BN＝CN
∵∠BEC＝2∠ABC
∴∠BEN＝∠ABC
∵EN⊥BC
∴∠BEN+∠EBN＝90
∴∠EBN+∠ABC＝90
∴EB⊥AB
∴EB∥DM
∵AM＝BM,BN＝CN
∴MN∥AC
∵∠ACB＝90
∴∠BNM＝90
∵EN⊥B
∴E、N、M在同一直线上
∴ME∥AC
∴ME∥BD
∴平行四边形DBEM
∴DF＝EF