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已知△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,BE=EC,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,连接DE交AB于点F,试探究线段DF与EF的数量关系,并加以证明
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已知△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,BE=EC,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,连接DE交AB于点F,试探究线段DF与EF的数量关系,并加以证明
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答案和解析
DF=EF
证明:过点D作DM⊥AB于M,过点E作EN⊥BC于N,连接MN
∵DA=DB,DM⊥AB
∴AM=BM,∠BDM=∠ADM=∠ADB/2
∵∠ADB=2∠ABC
∴∠BDM=∠ABC
∵DM⊥AB
∴∠BDM+∠DBA=90
∵∠ACB=90
∴∠CAB+∠ABC=90
∴∠CAB=∠DBA
∴DB∥AC
∵BE=CE,EN⊥BC
∴∠BEN=∠CEN=∠BEC/2,BN=CN
∵∠BEC=2∠ABC
∴∠BEN=∠ABC
∵EN⊥BC
∴∠BEN+∠EBN=90
∴∠EBN+∠ABC=90
∴EB⊥AB
∴EB∥DM
∵AM=BM,BN=CN
∴MN∥AC
∵∠ACB=90
∴∠BNM=90
∵EN⊥B
∴E、N、M在同一直线上
∴ME∥AC
∴ME∥BD
∴平行四边形DBEM
∴DF=EF
证明:过点D作DM⊥AB于M,过点E作EN⊥BC于N,连接MN
∵DA=DB,DM⊥AB
∴AM=BM,∠BDM=∠ADM=∠ADB/2
∵∠ADB=2∠ABC
∴∠BDM=∠ABC
∵DM⊥AB
∴∠BDM+∠DBA=90
∵∠ACB=90
∴∠CAB+∠ABC=90
∴∠CAB=∠DBA
∴DB∥AC
∵BE=CE,EN⊥BC
∴∠BEN=∠CEN=∠BEC/2,BN=CN
∵∠BEC=2∠ABC
∴∠BEN=∠ABC
∵EN⊥BC
∴∠BEN+∠EBN=90
∴∠EBN+∠ABC=90
∴EB⊥AB
∴EB∥DM
∵AM=BM,BN=CN
∴MN∥AC
∵∠ACB=90
∴∠BNM=90
∵EN⊥B
∴E、N、M在同一直线上
∴ME∥AC
∴ME∥BD
∴平行四边形DBEM
∴DF=EF
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