过直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0,也就是要证明(D+λA)^2+(E+λB)^2-4(F+λC)＞0.

Question

过直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为 x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0,
也就是要证明(D+λA)^2+(E+λB)^2-4(F+λC)＞0.

Answer 1

只要已知直线 L 与已知圆 C 有交点,则方程 C+λL=0 就一定表示圆.
这是由于 满足 L 与 C 的点 P（x,y）（就是它们的交点）一定满足 C+λL=0 ,
所以,C+λL=0 的图形是存在的（因为它过 L 与 C 的交点）；
其次,将方程 C+λL=0 配方,可得一个圆的标准方程,所以它的半径必为正数,
也就是 你要证明的式子必成立 .