小明一直对四边形很感兴趣，在矩形ABCD中，E是AC上任意一点，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F．请你跟着他一起解决下列问题：（1）如图①，若AB=BC，则DE，EF有什么数量关系？请给出证明．（2

Question

小明一直对四边形很感兴趣，在矩形ABCD中，E是AC上任意一点，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F．请你跟着他一起解决下列问题：
（1）如图①，若AB=BC，则DE，EF有什么数量关系？请给出证明．
（2）如图②，若∠CAB=30°，则DE，EF又有什么数量关系？请给出证明．
（3）由（1）、（2）这两种特殊情况，小明提出问题：如果在矩形ABCD中，BC=mAB，那DE，EF有什么数量关系？请给出证明．

Answer 1

（1）DE=EF．
 过点E作EG⊥AD与G，EH⊥AB于H，
则∠EGD=∠EHF=90°，又∠BAD=90°，
∴四边形EGAH是矩形，
∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴矩形ABCD为正方形，
∴∠EAH=45°，
∴HE=HA，
∴四边形AHEG是正方形，
∴EH=EG，∠GEH=90°，
∴∠FED-∠GEF=∠GEH-∠GEF，
即∠DEG=∠FEH，
在△EDG和△EFH中，

∠DEG=∠FEH

EG=EH

∠DGE=∠FHE

，
∴△EDG≌△EFH
∴DE=EF；
（2）DE=√(3)EF．
∵∠CAB=30°，
∴(AH)/(EH)=√(3)，
同（1）理得，∠EGD=∠EHF=90°，∠DEG=∠FEH
∴△EDG∽△EFH，
∴(DE)/(EF)=(EG)/(EH)=√(3)，
∴DE=√(3)EF；
（3）DE=(1)/(m)EF．
同（2）理得，△EDG∽△EFH，
∴(DE)/(EF)=(EG)/(EH)=(AB)/(BC)=(1)/(m)，
∴DE=(1)/(m)EF．