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如图,△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,AD=6,求CD的长,小明同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.请按照小明的思路,探究并解答下列问题:(1)分别以
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如图,△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,AD=6,求CD的长,小明同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.请按照小明的思路,探究并解答下列问题:
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(1)分别以AB、AC为对称轴,画出△ABD和△ACD的轴对称图形,D点的对称点分别为E、F,延长EB,FC交于M点,判断四边形AEMF的形状,并说明理由;
(2)设CD=x,利用勾股定理,在△BCM中建立关于x的方程模型,并求出x的值.
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(1)分别以AB、AC为对称轴,画出△ABD和△ACD的轴对称图形,D点的对称点分别为E、F,延长EB,FC交于M点,判断四边形AEMF的形状,并说明理由;
(2)设CD=x,利用勾股定理,在△BCM中建立关于x的方程模型,并求出x的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)四边形AEMF是正方形,
理由:由题意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF.
∴∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°,
∴∠EAF=90°.
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°.
∴四边形AEMF是矩形,
又∵AE=AD,AF=AD
∴AE=AF.
∴矩形AEMF是正方形.
(2)设CD=x,则FC=x.
∵BD=2,EM=FM=6,
∴BM=6-2=4,CM=6-x,BC=2+x,
在Rt△BMC中,BM2+CM2=BC2,
∴42+(6-x)2=(2+x)2.
解得x=3,
所以CD=x=3.
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理由:由题意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF.
∴∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°,
∴∠EAF=90°.
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°.
∴四边形AEMF是矩形,
又∵AE=AD,AF=AD
∴AE=AF.
∴矩形AEMF是正方形.
(2)设CD=x,则FC=x.
∵BD=2,EM=FM=6,
∴BM=6-2=4,CM=6-x,BC=2+x,
在Rt△BMC中,BM2+CM2=BC2,
∴42+(6-x)2=(2+x)2.
解得x=3,
所以CD=x=3.
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