1.判别级数∑（∞,n=1）（1000）^n/n!的敛散性2.求幂级数∑（∞,n=1）（n+1）^n*x^n/n!的收敛半径3.幂级数∑（∞,n=0）n*4^(n+1)*x^(n)的收敛区间是什么?

Question

1.判别级数∑（∞,n=1）（1000）^n/n!的敛散性
2.求幂级数∑（∞,n=1）（n+1）^n*x^n/n!的收敛半径
3.幂级数∑（∞,n=0）n*4^(n+1)*x^(n)的收敛区间是什么?

Answer 1

令an=原级数,则由柯西判别法,有  n√an→0（n→∞）,∴原级数收敛（an中n为下标,下同；n√an即an开n次方根）；

令an=原级数,则 |an+1∕an|=(n+2)^(n+1)∕(n+1)^(n+1)→1 (n→∞),即原级数的收敛半径为1（an+1中n+1为下标,下同）；

同2.,有 |an+1∕an|=4*（n+1）/n→4(n→∞),∴收敛半径为1/4,又∵x=1/4时,原级数=4n发散,x=-1/4时,原级数=（-1）^n*4n亦发散,∴原级数收敛区间为（-1/4,1/4).