∑1/n=1+1/2+1/3+.+1/n的级数是发散的,∑1/n^2=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2的是收敛的,

Question

∑1/n=1+1/2+1/3+.+1/n的级数是发散的,∑1/n^2=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2的是收敛的,

Answer 1

∑1/n^2=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2<1+1/2*1+1/3*2+1/4*3+...
=1+(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...)
=1+1+1/n=2+1/n
当n趋近无穷大,∑1/n^2<2,所以收敛.
而级数∑1/n就较复杂点了,严格证明要用到高等数学中的幂级数展开式等内容,你只需要记住这个结论.