已知周长为定值的扇形OAB，当其面积最大时，向其内任意掷点，则点落在△OAB内的概率是多少？

Question

已知周长为定值的扇形OAB，当其面积最大时，向其内任意掷点，则点落在△OAB内的概率是多少？

Answer 1

设扇形周长为m，半径为r，则弧长l=m-2r．
∴扇形的面积S=(1)/(2)lr=(1)/(2)r（m-2r）=(1)/(4)•2r•（m-2r）
∵2r•（m-2r）≤[(2r+(m−2r))/(2)]2=(m2)/(4)，
∴当且仅当r=(m)/(4)时，扇形的面积S的最大值为(m2)/(16)．
此时扇形的弧长为(1)/(2)m，故此时扇形的圆心角为α=(l)/(r)=2
因此，点落在△OAB内的概率为
P=(S△AOB)/(S扇形)=((1)/(2)|OA|•|OB|sinα)/((m2)/(16))=((1)/(2)•(m)/(4)•(m)/(4)sin2)/((m2)/(16))=(1)/(2)sin2
答：当扇形面积最大时，向其内任意掷点，该点落在△OAB内的概率是(1)/(2)sin2．