数列题（高手们帮帮忙.）a1+2a2+3a3+4a4+.+NaN=(N-1)SN+2N(N=0,1,2,3,4,5,6.)证明《SN+2》为等比数列.我想知道这类题的突破口是什么,怎么想到的?希望不吝赐教,谢谢.

Question

数列题（高手们帮帮忙.）
a1+2a2+3a3+4a4+.+NaN=(N-1)SN+2N (N=0,1,2,3,4,5,6.)
证明《SN+2》为等比数列.
我想知道这类题的突破口是什么,怎么想到的?希望不吝赐教,谢谢.

Answer 1

由原式得a1+2a2+3a3```+nan=nSn-Sn+2n
a1+2a2+3a3```+nan+(n+1)a(n+1)=nS(n+1)+2n+2
∴nSn-Sn+2n++(n+1)a(n+1)=nS(n+1)+2n+2 因为 S(n+1)-Sn=a(n+1)
通过移项得-Sn+(n+1)a(n+1)=n(Sn+1-Sn)+2=na(n+1)+2
再化简得a(n+1)=Sn+2
∴an=Sn+2
∵ Sn-S(n-1)=an 上面2个式相减得到 a(n+1)=2an
∴an是工比为2的等比数列
由题可得a1=2 ∴Sn=2^(n+1)-2 即Sn+2=2^(n+1)
可以看到Sn+2 是等比数列了
解这些题如果可以的话就通过题目给的式移项 如果可以得到答案就好 如果不行的话 一般是先找到 an和Sn的关系求出an或Sn (这道题不知道有没有更简单的方法)
补充一下 (想到更加简单的方法)
原题的 a1+2a2+3a3+4a4+.+(N-1)An-1+Nan=(n-1)Sn+2n
前面a1+2a2+3a3+4a4+.+(N-1)An-1=(N-2)S(n-1)+2(n-1)
把它代 回原来的式子就有 (N-2)S(n-1)+2N-2 +Nan=(n-1)Sn+2n
因为Nan=NSn-NSn-1再代回进上式
化简后得Sn=2S(n-1)+2
看到了吧 在式子左右2边同时加上2就有 Sn+2=2S(n-1)+4 =2*【S(n-1)+2】
就可以证明出来了 这种数列的构造法适用于 bn=pb(n-1)+q p q 都是常数
也就是Sn=2S(n-1)+2 可以用这种构造法