1.已知：三角形ABC中,DE平行于BC,且三角形ADE的面积：四边形BCED的面积=1:2,求AD:DB2.三角形ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB与点K,AB=3AK3.过三角形ABC的顶点C任做一直线,与边AB及

Question

1.已知：三角形ABC中,DE平行于BC,且三角形ADE的面积：四边形BCED的面积=1:2,求AD:DB
2.三角形ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB与点K,AB=3AK
3.过三角形ABC的顶点C任做一直线,与边AB及中线AD分别交于点F、E..求证：AE:ED=2AF:FB
4.RT三角形ABC中有正方形DEFG,点D、G分别在AB、AC上,EF在斜边BC上,求证：EF*EF=BE*FC

Answer 1

1.三角形ADE的面积：四边形BCED的面积=1:2,所以三角形ADE的面积：三角形ABC的面积=1:3,所以,两三角形变长之比为1：√3,即AD：AB =1：√3,所以AD:DB=1：（√3-1）
2.过D做DE//CK,交AB于E,
因为ABC是等腰三角形,且AD为高,
所以D是BC中点,
所以BD=DC,
因为DE//CK,所以BE=EK.
因为DE//CK,且AM＝MD,所以AK=KE
所以BE=EK=KA,所以AB＝3AK
3．过D做DG//CK,交AB于E,
则GF＝BG＝BF／2（由上一题得知）
因为EF//DG,所以AE:ED=AF:FG
因为GF＝BF／2,所以AE:ED=2AF:FB
4.因为∠B+∠C=90°=∠B+∠BDE=∠C+∠CGF,
所以∠B=∠CGF,∠C=∠BDE
所以△DBE ∽△CGF,所以DE：CF=BE：GF,所以ED*GF=BE*FC
由于DE=EF=FG,所以EF*EF=BE*FC