△ABC的三边是三个连续自然数（AB＜BC＜CA）,延长BC到D使CD=AC,延长CB到E使BE=AB,求tanD×tanE的值.

Question

△ABC的三边是三个连续自然数（AB＜BC＜CA）,延长BC到D使CD=AC,延长CB到E使BE=AB,求tanD×tanE的值.

Answer 1

依题意知 令AB=a-1 BC=a CA=a+1
过A点作BC的垂线交于F 设AF=x BF=b
由勾股定理 (a-1)²=x²+b² (a+1)²=x²+(a-b)²
相减得b=a/2-2 AF=a/2+2 由于角B=2E 角C=2D
tanD×tanE=tanC/2×tanD/2=√（1-COSC）/（1+COSC）√（1-COSB)/(1+COSB)
=1/3