综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD>90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发

Question

综合与实践
问题情境
   在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD>90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
操作发现
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是___；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

Answer 1

（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，
故AC′∥EC，AC∥C′E，
则四边形ACEC′是平行四边形，
故四边形ACEC′的形状是菱形；
故答案为：菱形；

（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，
由旋转得：AC′=AC，
则∠CAE=∠C′AE=(1)/(2)α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴∠CAE=∠BCA，
∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，
∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°，
又∵BC=DC′，
∴四边形BCC′D是平行四边形，
∵∠BCC′=90°，
∴四边形BCC′D是矩形；

（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∵BA=BC，
∴CF=AF=(1)/(2)AC=(1)/(2)×10=5，
在Rt△BCF中，BF=√(BC2-CF2)=√(132-52)=12，
在△ACE和△CBF中，
∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴(CE)/(BF)=(AC)/(BC)，即(CE)/(12)=(10)/(13)，
解得：EC=(120)/(13)，
∵AC=AC′，AE⊥CC′，
∴CC′=2CE=2×(120)/(13)=(240)/(13)，
当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：
①点C″在边C′C上，a=C′C-13=(240)/(13)-13=(71)/(13)，
②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=(240)/(13)+13=(409)/(13)，
综上所述：a的值为：(71)/(13)或(409)/(13)；

（4）答案不唯一，
例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为(1)/(2)AC的长度，
得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，
结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，
∴四边形A′BCD′是平行四边形．