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(2014•湖北模拟)在三棱椎A-BCD中,AB=BC=4,AD=BD=CD=22,在底面BCD内作CE⊥CD,且CE=2.(1)求证:CE∥平面ABD;(2)如果二面角A-BD-C的大小为90°,求二面角B-AC-E的余弦值.
题目详情
(2014•湖北模拟)在三棱椎A-BCD中,AB=BC=4,AD=BD=CD=2
,在底面BCD内作CE⊥CD,且CE=
.
(1)求证:CE∥平面ABD;
(2)如果二面角A-BD-C的大小为90°,求二面角B-AC-E的余弦值.
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(1)求证:CE∥平面ABD;
(2)如果二面角A-BD-C的大小为90°,求二面角B-AC-E的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵BD=CD=2
,BC=4,
∴BD2+CD2=BC2,
∴BD⊥CD,
∵CE⊥CD,∴CE∥BD,
又CE⊄平面ABD,BD⊂平面ABD,
∴CE∥平面ABD;
(2)如果二面角A-BD-C的大小为90°,
由AD⊥BD得AD⊥平面BDC,∴AD⊥CE,
又CE⊥CD,∴CE⊥平面ACD,从而CE⊥AC,
由题意AD=DC=2
,∴Rt△ADC中,AC=4,
设AC的中点为F,∵AB=BC=4,∴BF⊥AC,且BF=2
,
设AE中点为G,则FG∥CE,
由CE⊥AC得FG⊥AC,∴∠BFG为二面角B-AC-E的平面角,连接BG,
在△BCE中,∵BC=4,CE=
,∠BCE=135°,∴BE=
,
在Rt△DCE中,DE=
=
,
于是在Rt△ADE中,AE=
=3
,
在△ABE中,BG2=
AB2+
BE2-
AE2=
,
∴在△BFG中,cos∠BFG=
=-
,
∴二面角B-AC-E的余弦值为-
.
2 |
∴BD2+CD2=BC2,
∴BD⊥CD,
∵CE⊥CD,∴CE∥BD,
又CE⊄平面ABD,BD⊂平面ABD,
∴CE∥平面ABD;
(2)如果二面角A-BD-C的大小为90°,
由AD⊥BD得AD⊥平面BDC,∴AD⊥CE,
又CE⊥CD,∴CE⊥平面ACD,从而CE⊥AC,
由题意AD=DC=2
2 |
设AC的中点为F,∵AB=BC=4,∴BF⊥AC,且BF=2
3 |
设AE中点为G,则FG∥CE,
由CE⊥AC得FG⊥AC,∴∠BFG为二面角B-AC-E的平面角,连接BG,
在△BCE中,∵BC=4,CE=
2 |
26 |
在Rt△DCE中,DE=
(2
|
10 |
于是在Rt△ADE中,AE=
(2
|
2 |
在△ABE中,BG2=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
33 |
2 |
∴在△BFG中,cos∠BFG=
12+
| ||||||
2×2
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| ||
3 |
∴二面角B-AC-E的余弦值为-
| ||
3 |
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