（2014•湖北模拟）在三棱椎A-BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=22，在底面BCD内作CE⊥CD，且CE=2．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A-BD-C的大小为90°，求二面角B-AC-E的余弦值．

Question

（2014•湖北模拟）在三棱椎A-BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2√(2)，在底面BCD内作CE⊥CD，且CE=√(2)．
（1）求证：CE∥平面ABD；
（2）如果二面角A-BD-C的大小为90°，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵BD=CD=2√(2)，BC=4，
∴BD²+CD²=BC²，
∴BD⊥CD，
∵CE⊥CD，∴CE∥BD，
又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，
∴CE∥平面ABD；
（2）如果二面角A-BD-C的大小为90°，
由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，
又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，
由题意AD=DC=2√(2)，∴Rt△ADC中，AC=4，
设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2√(3)，
设AE中点为G，则FG∥CE，
由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B-AC-E的平面角，连接BG，
在△BCE中，∵BC=4，CE=√(2)，∠BCE=135°，∴BE=√(26)，
在Rt△DCE中，DE=√((2√(2))2+(√(2))2)=√(10)，
于是在Rt△ADE中，AE=√((2√(2))2+(√(10))2)=3√(2)，
在△ABE中，BG²=(1)/(2)AB²+(1)/(2)BE²-(1)/(4)AE²=(33)/(2)，
∴在△BFG中，cos∠BFG=(12+(1)/(2)−(33)/(2))/(2×2√(3)×(√(2))/(2))=-(√(6))/(3)，
∴二面角B-AC-E的余弦值为-(√(6))/(3)．