已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为√6/3,设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线与椭圆交于A.B两点,当|AB|=√3,求b的值

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为√6/3,设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直
线与椭圆交于A.B两点,当|AB|=√3,求b的值

Answer 1

1、由点到直线的距离公式,原点(0,0)到直线x+y-b=0的距离d=|b|/√2=√2
所以,b=2；
离心率e=c/a=√6/3,则c²/a²=2/3,c²=2a²/3
又椭圆中,c²=a²-b²,所以：2a²/3=a²-4,所以,得：a²=12；
所以,椭圆方程为：x²/12+y²/4=1；
2、右焦点为(c,0)；
直线倾斜角为45度,所以,斜率k=1,由点斜式,直线L的方程为：y=x-c；
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由两点的距离公式：AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²；
因为A,B在直线L：y=x-c上,所以,y1=x1-2√2；y2=x2-c；
所以,y1-y2=x1-x2；
所以：AB²=2(x1-x2)²,因为|AB|=√3,所以AB²=2(x1-x2)²=3,则(x1-x2)²=3/2；
y=x-c与x²/12+y²/4=1联列方程组,消去y,
得关于x的二次方程：4x²/3-2cx+c²-4=0,即：x²-3cx/2+3c²/4-3=0；
由韦达定理：x1+x2=3c/2,x1x2=3c²/4-3；
所以：(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=9c²/4-3c²+12
所以：9c²/4-3c²+12=3/2；
-3c²/4=-21/2
c²=14；
离心率e=c/a=√6/3,则c²/a²=2/3,a²=3c²/2=21；
所以：b²=a²-c²=7；
注：直线与圆锥曲线相交,找等式,联列方程组,用韦达定理,这是一个很常用的固定套路,也是高考中的重点题型,一定要掌握哦.