已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一条准线方程x=9/根号5,且该椭圆上的点到右焦点的最近距离为3-根号5（1）求椭圆方程（2）设F1,F2是椭圆左右两焦点,A是椭圆与y轴负半轴的交点,问：椭圆上是否

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一条准线方程x=9/根号5,且该椭圆上的点到右焦点的最近距离为3-根号5（1）求椭圆方程（2）设F1,F2是椭圆左右两焦点,A是椭圆与y轴负半轴的交点,问：椭圆上是否存在一点P,使得丨PF1丨,丨PF2丨,丨PA丨成等差数列,若存在,求出点P坐标,反之,什么理由.

Answer 1

(1)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一条准线方程x=a^2/c=9/√5,
且该椭圆上的点到右焦点的最近距离为a-c=3-√5,
解得a=3,c=√5,
∴b^2=4,
∴椭圆方程是x^2/9+y^2/4=1.
(2)A(0,-2),设P(3cosα,2sinα),
丨PF1丨,丨PF2丨,丨PA丨成等差数列,
|PF1|+|PA|=2|PF2|,
PA^2=(2|PF2|-|PF1|)^2,
∴9(cosα)^2+(2sinα+2)^2=[2(3-√5cosα)^2-(3+√5cosα)^2],
5(cosα)^2+8+8sinα=9-18√5cosα+5(cosα)^2,
∴sinα=(1-18√5cosα)/8,①
∴1=[1-36√5cosα+1620(cosα)^2]/64+(cosα)^2,
1684(cosα)^2-36√5cosα-63=0,
解得cosα=(9√5土4√1683)/842,代入①,sinα=(4干9√8415)/1684,
∴P((27√5+12√1683)/842,(4-9√8415)/842)或((27√5-12√1683)/842,(4+9√8415)/842).