已知椭圆的离心率为3分之根3,OP为2分之根10,PF1pf2=2分之1,求椭圆方程,P是坐标内的一点

Question

已知椭圆的离心率为3分之根3,OP为2分之根10, PF1pf2=2分之1,求椭圆方程,P是坐标内的一点

Answer 1

PF1=a+ex
PF2=a-ex
PF1/PF2=1/2
(a+ex)/(a-ex)=1/2 e=c/a=√3/3 c^2/a^2=1/3
a-ex=2a+2ex b^2=a^2-c^2=(2/3)a^2
-3ex=a
-3cx/a=a
-3cx=a^2
x=-a^2/(3c)
x^2/a^2=a^2/9c^2=1/3
y^2/b^2=2/3
y^2=(2/3)b^2 y^2=(2/3)(2/3)a^2=4a^2/9
OP^2=x^2+y^2=a^4/9c^2+4a^2/9=a^2/3+4a^2/9=7a^2/9
OP^2=5/2
7a^2/9=5/2
14a^2=45
a^2=45/14 b^2=30/14=15/7
椭圆方程：x^2/(45/14)+y^2/(15/7)=1