已知椭圆C的方程为x^2/8+y^2/4=1设斜率为K的直线l,交椭圆C于A,B两点,AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上.

Question

已知椭圆C的方程为x^2/8+y^2/4=1
设斜率为K的直线l,交椭圆C于A,B两点,AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上.

Answer 1

设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),M点坐标为(x,y)
∵ (x1)²/8+(y1)²/4=1 ①
(x2)²/8+(y2)²/4=1 ②
①-②得
(x1+x2)(x1-x2)/8+(y1+y2)(y1-y2)/4=0
∵ M为AB的中点
即 x1+x2=2x, y1+y2=2y
因为 K=(y1-y2)/(x1-x2),
∴ x/2+Ky=0.
即,y=-x/2K
∴ 动点M在一条过原点的定直线 y=-x/2K上
（此方法称为"点差法"）