a1=1a(n+1)=(an2+4)/2ann=1,2,3……求an通项an2是an的平方

Question

a1=1 a(n+1)=(an2+4)/2an n=1,2,3……求an通项
an2是an的平方

Answer 1

这题,用的是不动点的方法.
也不知道你学没学过……
首先,令a(n+1)=an=x
于是有x=(x^2+4)/2x
解得x=±2
不要问我为什么要这么做,
这么做的目的是找出这个式子里隐藏的数字.
而这个数字就是揭开通项的钥匙.
对这个式子：
a(n+1)=(an2+4)/2an
等式两边都减2.
①a(n+1)-2 = (an2+4)/2an - 2 = (an - 2)^2 / 2an
对这个式子：
a(n+1)=(an2+4)/2an
等式两边都加2.
②a(n+1)+2 = (an2+4)/2an + 2 = (an + 2)^2 / 2an
求一下①/②：
(a(n+1)-2)/(a(n+1)+2) = (an - 2)^2 / (an + 2)^2 = ((an - 2)/(an + 2))^2
令bn=(an-2)/(an+2),
所以bn满足一个很简单的关系式：bn=(b(n-1))^2=(b(n-2))^4=(b(n-3))^8=...=(b1)^2^(n-1)
b1=(a1-2)/(a1+2)=-1/3
所以bn=-1/3^2^(n-1)=(an-2)/(an+2),
把an反解出来：
an = 4 / [1-(-1/3)^2^(n-1)]
这种方法叫不动点求通项法.
先设x,求出x的解,
然后让等式两边都减去这个x,进行化简,找到一定规律.
解出来两个x的话,就找到两个规律等式.
对两个等式进行一下处理,an的规律就出来了……
怎么样,很神奇吧?