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如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=5.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;(2)试说明
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如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=
.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-09/12/1536720245-4345.jpg)
(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
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(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:当∠AOF=90°时,
∵∠BAO=∠AOF=90°,
∴AB∥EF,
又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形.
(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
在△AOF和△COE中
.
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF=EC.
(3)四边形BEDF可以是菱形.
理由:如图,连接BF,DE
由(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,
∴EF与BD互相平分.
∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中,AC=
=
=2,
∴OA=1=AB,
又∵AB⊥AC,
∴∠AOB=45°,
∴∠AOF=45°,
∴AC绕点O顺时针旋转45°时,四边形BEDF为菱形.
∵∠BAO=∠AOF=90°,
∴AB∥EF,
又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形.
(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
在△AOF和△COE中
|
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF=EC.
(3)四边形BEDF可以是菱形.
理由:如图,连接BF,DE
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-09/12/1536720245-8325.jpg)
∴EF与BD互相平分.
∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中,AC=
(
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5−1 |
∴OA=1=AB,
又∵AB⊥AC,
∴∠AOB=45°,
∴∠AOF=45°,
∴AC绕点O顺时针旋转45°时,四边形BEDF为菱形.
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